2015-11-19

Hierarchische Matrizen: ein universelles Konzept zur Behandlung elektromagnetischer Probleme

Prof. Dr. Mario Bebendorf, University of Bayreuth

27 Nov 2015, 15:30–17:00; Location: S2|17-103

Der Vortrag behandelt die schnelle numerische Lösung elliptischer Randwertprobleme mittels hierarchischer Matrizen. Im ersten Teil des Vortrags werden nicht-lokale Operatoren, die beispielsweise durch Diskretisierung von Integraloperatoren entstehen, untersucht. Die auftretenden Systemmatrizen sind vollbesetzt, so dass bereits ihre Generierung eine effziente Behandlung im Fall großdimensionierter Probleme unmöglich macht. Wir stellen ein überraschend einfaches Verfahren, die Adaptive-Kreuz-Approximation, vor, das unter Verwendung weniger Originaleinträge eine Approximation mit nahezu linearer Komplexität generiert. Ein enormer Vorteil hierarchischer Matrizen gegenüber etablierten schnellen Verfahren wie der Multipol-Methode ist, dass (approximative) arithmetische Operationen wie Addition und Multiplikation definiert werden können. Mit Hilfe dieser Operationen lassen sich Approximationen an Inverse und LU-Zerlegungen mit reduzierter Genauigkeit konstruieren, die als Vorkonditionierer verwendet werden können. Die breite Anwendbarkeit dieser Methoden wird durch numerische Resultate aus Industriekooperationen in den Bereichen Akustik, Elastizität und Elektromagnetismus belegt. Auch Hochfrequenz-Probleme sind mit einer Variante der Methode effizient behandelbar. Ferner werden wir zeigen, dass die Streufeldenergie im Mikromagnetismus mit Hilfe dieser Methoden effizient berechnet werden kann, was eine Simulation von Übergängen zwischen stationären Zuständen ermöglicht.

Die Prinzipien der Adaptiven-Kreuz-Approximation sind besonders bei der Anwendung auf räumlich hochdimensionale Probleme zur Steigerung der Effizienz ausnutzbar und bilden somit eine Grundlage zur effizienten Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit stochastischen Koeffizienten.

Im zweite Teil des Vortrages werden hierarchische Matrizen auf Finite-Element-Diskretisierungen angewendet. In diesem Fall sind die auftretenden Steifigkeitsmatrizen schwachbesetzt. Deren Inverse und die Faktoren ihrer LU-Zerlegung sind allerdings im Allgemeinen vollbesetzt, so dass sich hierarchische Matrizen anbieten, um approximative Vorkonditionierer zu konstruieren. Die Schwierigkeit liegt hierbei mehr auf theoretischer Seite: Hierarchische Matrizen erlauben zwar die Approximation jeder Matrix mit beliebiger Genauigkeit, die Approximantion muss aber nicht nahezu lineare Komplexität besitzen. Wir werden Approximationsresultate vorstellen, die belegen, dass sowohl die Inverse als auch die Faktoren der LU-Zerlegung mit nahezu linearer Komplexität approximiert werden können. Interessanterweise hängt die Komplexität im Gegensatz zu Mehrgitterverfahren nur schwach von der Glattheit der Koeffizienten des Differentialoperators ab, so dass sich diese Vorkonditionierer auf die gesamte Klasse elliptischer Probleme anwenden lassen, ohne sie auf das spezielle Problem anpassen zu müssen.

Category: CE Seminar

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